前言
本篇介紹基本矩陣E的概念和應用，及方陣的一些等價表達。
Elementary Matrix（基本矩陣）
定義：
An n-by-n matrix is called an elementary matrix if it can be obtained from the n-by-n identity matrix In by performing a single elementary row operation.
由單位矩陣通過一次ERO得到的矩陣稱為基本矩陣。
以基本矩陣表達ERO
if B obtained from A by n step of EROs,then
then B = (En·En-1...E2·E1)· A where Ej,1<=j<=n,is the jth elementary matrix corresponding to the jth elementary row operation respectively.
將每一次ERO通過一個E來表達，將EROs的疊加通過Ej的乘積表達。提供了一種數學上的規範ERO表達。注意E要連乘式中要置於被操作矩陣前。
基本矩陣的逆矩陣
every elementary matrix is invertible and the inverse is also an elementary matrix of the same type.(3 types below:)
基本矩陣必可逆並且其逆矩陣(E^-1)可以通過原ERO的變化操作得到：
- 原ERO為交換兩row，E^-1同樣交換兩row得到
- 原ERO為row純量乘法，E^-1通過同一row乘以該純量的倒數得到
- 原ERO為將k倍某row加到另一row，E^-1將(-k)倍同一row加到另一row
我們可以通過ERO（基本矩陣）得到某矩陣之RREF，那麽同樣的可以通過E^-1對RREF進行倒退。基本矩陣及其逆矩陣像是矩陣row操作的一種運算基本單元。
Row equivalent(row等價)
Matrices A and B are said to be row equivalent if either can be obtained from the other by a sequence of elementary row operation.
Row等價的兩個矩陣可以通過一系列ERO得到對方，若A---EROs--->B,即B = (En·En-1·...·E2·E1)·A，那麽相對應的A<---EROs---B,有A=(E1-1·E2-1·...·En-1-1·En-1)B
Equivalent statements about square matrix(關於方陣的等價表達)
以下表達要麽同時T要麽同時F
if A is an n-by-n matrix, then the fellowing are equivalent
<a>A is invertibel
<b>A·X = 0 has only the trivial solution
<c>The RREF of A is In
<d>A is expressible as a product of elementary matrices
Proof: 證明多條表達互相等價時，證明其形成一個閉環即可。
proof of a=>b (方陣A可逆時，A·X = 0必只有原點一解)
let K be the solution set of A·X = 0, then
∀x∈K,A·x = 0
=> A^-1(A·x) = A^-1·0
=> (A^-1·A)·x = 0
運用可逆特性
=> I·x=0
=> x=0
證明思路：由可逆引入逆矩陣推得解集K的唯一解為原點解(trivial)
proof of b=>c (方程A·X = 0只有原點解時方陣A的RREF是單位矩陣)
let R be the RREF of the m-by-n matrix A, then by theorem, either R has a row of zeros or R=In
If R has a row of zeros then RX=0 has infinitely many solution.(有一row為0的話缺失一個條件，會多出一個free variable導致無窮多解)
=> AX=0 has infinitely many solutions(與AX=0只有原點解得前提矛盾，說明R(A的RREF)是一個單位矩陣。得證)
=> R = In
證明思路：因為方陣的RREF只有兩種可能性，這邊討論說明一row為0的情況與條件衝突，故只可能是單位矩陣，得證。
proof of c=>d (方陣A的RREF是單位矩陣時，A可以用基本矩陣的乘積表達)
By theorem, there exist elementary matrices E1,E2,...,Ek such that
R = (Ek · Ek-1 · ... · E2 · E1)·A 因為A的RREF是單位矩陣，即R是單位矩陣 => R = In = (Ek · Ek-1 · ... · E2 · E1)·A
=> (E1^-1 · E2^-1 ·...· Ek-1^-1 · Ek^-1)· I = (E1^-1 · E2^-1 ·...· Ek-1^-1 · Ek^-1)·(Ek · Ek-1 · ... · E2 · E1)·A 又依據矩陣乘法之結合律化簡 => E1^-1 · E2^-1 ·...· Ek-1^-1 · Ek^-1 = A i.e. 矩陣A表達為了單位矩陣的乘積
證明思路：先用基本矩陣表達方陣A通過ERO轉化為單位矩陣的過程，再獨立出A於等式一邊後化簡即得證。其實這個命題非常直觀，A可以由一系列操作E轉化為單位矩陣，那麽A當然可以用單位矩陣通過一系列E^-1還原為A，即一系列E的乘積。
proof of d=>a (方陣A若能用一系列基本矩陣的乘積表達，則A可逆)
A = E1^-1 · E2^-1 ·...· Ek-1^-1 · Ek^-1
=> (Ek · Ek-1 · ... · E2 · E1) · A = (Ek · Ek-1 · ... · E2 · E1) · (E1^-1 · E2^-1 ·...· Ek-1^-1 · Ek^-1)
=> (Ek · Ek-1 · ... · E2 · E1) · A = I
i.e. A^-1 = (Ek · Ek-1 · ... · E2 · E1), A is invertible
證明思路：由“方陣A若能用一系列基本矩陣的乘積表達”這一特點列式，接着通過E^-1和矩陣乘法結合律往可逆矩陣定義上靠攏而得證。
注意： * 方陣A不可逆時，AX=0會有無窮多組解。 ---
尋找逆矩陣的一種方法
上一篇文章已經介紹過，即： 